معلم خصوصی ریاضی در همدان

در بخش اعظمی از تلفن همراه‌های یار مجهز به GPS قبل از اینکه سیگنال مهم GPS اخذ گردد، یک حالت مکانی تقریبی ارائه می شود. این شغل از روش فرآیندی به اسم «تثلیث» (Triangulation) اجرا میگردد که با استعمال از مسافت موبایل تا دو نقطه معلوم یعنی دکل‌ها فعالیت می‌نماید. فرض نمائید دو دکل گوشی در پیروزی یک تلفن همراه قرار دارا معلم خصوصی ریاضی در همدان هستند. این دو دکل در مسافت‌

6000
6000
فوتی از یکدیگر و در امتداد یک بزرگ راه بدون واسطه که مسیر آن شرق به غرب میباشد، قرار گرفته‌اند و موبایل گوشی نیز در سمت شمال بزرگ راه میباشد. مطابق مکث در وصال سیگنال، معین گردیده‌است که موبایل در مسافت‌
5050
5050
فوتی از دکل اولیه و
2420
2420
فوتی از دکل دوم قراردارد. شرایط موبایل را در شمال و شرق دکل اولیه به حساب آوردن فرمایید و معلوم فرمایید که‌این موبایل چقدر از بزرگ راه مسافت داراست:

مسافت یک موبایل از دو دکل
جواب

با به کار گیری از ضابطه کسینوس‌ها خواهیم توانست مقدار زاویه
θ
θ
را به دست آوریم. به خیال و خاطر داشته باشید که ضابطه کسینوس‌ها از مربع یا این که اقتدار دوم یک ضلع برای یافت کردن کسینوس زاویه مقابل آن به کار گیری می‌نماید. فرض فرمائید
a
=
2420
a=2420
و
b
=
5050
b=5050
و
c
=
6000
c=6000
باشند. در سود زاویه
θ
θ
با ضلع مقابل خویش یعنی
a
a
متناظر میباشد. براین اساس ضابطه کسینوس‌ها به صورت ذیل نوشته میگردد:

a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
⁡
θ
a
2
=b
2
+c
2
−2bccosθ

⇒
(
2420
)
2
=
(
5050
)
2
+
(
6000
)
2
−
2
(
5050
)
(
6000
)
cos
⁡
θ
⇒(2420)
2
=(5050)
2
+(6000)
2
−2(5050)(6000)cosθ

⇒
cos
⁡
θ
≈
0.918
⇒cosθ≈0.918

⇒
θ
≈
cos
⁡
−
1
0.918
≈
23.
3
∘
⇒θ≈cos
−1
0.918≈23.3
∘

برای جواب به پرسش مرتبط با شرایط موبایل در شمال و شرق دکل و همینطور به حساب آوردن مسافت آن تا اتوبان، یک خط عمود از محل قرارگیری گوشی بر اساس تصویر پایین ترسیم میکنیم. این عمل سبب ساز ساخت‌و‌ساز دو مثلث قائم‌الزاویه می گردد. ولی برای حل این موضوع ما تنها به آن مثلث قائم‌الزاویه‌ای نیاز داریم که دکل اولیه در یکی‌از رئوس آن جای دارد.

مسافت یک گوشی از دو دکل

اکنون با به کار گیری از زاویه
23.
3
∘
23.3
∘

و نسبت‌های مثلثاتی اساس قادر خواهیم بود جواب‌ها را بیابیم:

cos
⁡
23.
3
∘
=
x
5050
cos23.3
∘
=
5050
x

⇒
x
=
5050
cos
⁡
23.
3
∘
≈
4638.15

f
t
⇒x=5050cos23.3
∘
≈4638.15 ft

sin
⁡
23.
3
∘
=
y
5050
sin23.3
∘
=
5050
y

⇒
y
=
5050
sin
⁡
23.
3
∘
≈
1997.5

f
t
⇒y=5050sin23.3
∘
≈1997.5 ft

به این ترتیب تلفن نسبتاً در مسافت
4638

f
t
4638 ft
شرق و
1998

f
t
1998 ft
شمال او‌لین دکل و در مسافت
1998

f
t
1998 ft
از اتوبان جای‌دارد.

تمرین
طبق تصویر تحت زاویه‌های
C
1
C
1

و
C
2
C
2

به ترتیب موازی با کدام آیتم‌اند؟

مثلث آبی با اضلاع و زاویه‌های معین

70.
5
∘
70.5
∘

و
12
0
∘
120
∘

70.
5
∘
70.5
∘

و
109.
5
∘
109.5
∘

109.
5
∘
109.5
∘

و
70.
5
∘
70.5
∘

12
0
∘
120
∘

و
70.
5
∘
70.5
∘

جواب تشریحی
مورد دوم درست میباشد. زاویه
C
1
C
1

به صورت ذیل احتساب می شود:

a
sin
⁡
A
=
c
sin
⁡
C
1
sinA
a

=
sinC
1

c

⇒
26
sin
⁡
3
3
∘
=
45
sin
⁡
C
1
⇒
sin33
∘

26

=
sinC
1

45

⇒
C
1
=
s
i
n
−
1
0.94
=
70.
5
∘
⇒C
1

=sin
−1
0.94=70.5
∘

برای یافت کردن
C
2
C
2

بایستی توجه کنیم به اینکه مثلث سمت راست یک مثلث معادل‌الاضلاع میباشد (دو ضلع موازی دارااست). پس دو زاویه متناظر با این دو ضلع نیز موازی میباشند. بنابراین
C
2
C
2

از نادر کردن
C
1
C
1

از
18
0
∘
180
∘

به دست میاید:

C
2
=
18
0
∘
−
C
1
=
18
0
∘
−
70.
5
∘
=
109.
5
∘
C
2

=180
∘
−C
1

=180
∘
−70.5
∘
=109.5
∘

فرض نمائید قایقی طبق صورت تحت از بندر بیرون گردیده و
10
10
مایل جنبش می‌نماید. آن‌گاه
20
20
رتبه می چرخد و
8
8
مایل دیگر را طی می‌نماید. مسافت قایق از بندر چقدر میباشد؟

فواصل یک قایق

17.7

m
l
17.7 ml

27.7

m
l
27.7 ml

1.7

m
l
1.7 ml

7.7

m
l
7.7 ml

جواب تشریحی
مورد اولیه صراحت دارد. طبق شکل پرسش، این قایق
20
20
مرتبه چرخیده میباشد. بدین ترتیب یک زاویه گشوده (منفرجه) در مثلث غیرقائم‌الزاویه داریم که زاویه کامل کننده آن یعنی
160
160
سکو خواهد بود. با داشتن این زاویه قادر خواهیم بود از ضابطه کسینوس‌ها برای جستن ضلع مجهول مثلث یعنی به عبارتی مسافت قایق تا بندر استعمال کنیم:

x
2
=
8
2
+
1
0
2
−
2
(
8
)
(
10
)
cos
⁡
16
0
∘
x
2
=8
2
+10
2
−2(8)(10)cos160
∘

⇒
x
2
=
314.35
⇒x
2
=314.35

⇒
x
=
314.35
≈
17.7

m
l
⇒x=
314.35

≈17.7 ml

در بخش اعظمی از تلفن همراه‌های یار مجهز به GPS قبل از اینکه سیگنال مهم GPS اخذ گردد، یک حالت مکانی تقریبی ارائه می شود. این شغل از روش فرآیندی به اسم «تثلیث» (Triangulation) اجرا میگردد که با استعمال از مسافت موبایل تا دو نقطه معلوم یعنی دکل‌ها فعالیت می‌نماید. فرض نمائید دو دکل گوشی در پیروزی یک تلفن همراه قرار دارا معلم خصوصی ریاضی در همدان هستند. این دو دکل در مسافت‌

6000
6000
فوتی از یکدیگر و در امتداد یک بزرگ راه بدون واسطه که مسیر آن شرق به غرب میباشد، قرار گرفته‌اند و موبایل گوشی نیز در سمت شمال بزرگ راه میباشد. مطابق مکث در وصال سیگنال، معین گردیده‌است که موبایل در مسافت‌
5050
5050
فوتی از دکل اولیه و
2420
2420
فوتی از دکل دوم قراردارد. شرایط موبایل را در شمال و شرق دکل اولیه به حساب آوردن فرمایید و معلوم فرمایید که‌این موبایل چقدر از بزرگ راه مسافت داراست:

مسافت یک موبایل از دو دکل
جواب

با به کار گیری از ضابطه کسینوس‌ها خواهیم توانست مقدار زاویه
θ
θ
را به دست آوریم. به خیال و خاطر داشته باشید که ضابطه کسینوس‌ها از مربع یا این که اقتدار دوم یک ضلع برای یافت کردن کسینوس زاویه مقابل آن به کار گیری می‌نماید. فرض فرمائید
a
=
2420
a=2420
و
b
=
5050
b=5050
و
c
=
6000
c=6000
باشند. در سود زاویه
θ
θ
با ضلع مقابل خویش یعنی
a
a
متناظر میباشد. براین اساس ضابطه کسینوس‌ها به صورت ذیل نوشته میگردد:

a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
⁡
θ
a
2
=b
2
+c
2
−2bccosθ

⇒
(
2420
)
2
=
(
5050
)
2
+
(
6000
)
2
−
2
(
5050
)
(
6000
)
cos
⁡
θ
⇒(2420)
2
=(5050)
2
+(6000)
2
−2(5050)(6000)cosθ

⇒
cos
⁡
θ
≈
0.918
⇒cosθ≈0.918

⇒
θ
≈
cos
⁡
−
1
0.918
≈
23.
3
∘
⇒θ≈cos
−1
0.918≈23.3
∘

برای جواب به پرسش مرتبط با شرایط موبایل در شمال و شرق دکل و همینطور به حساب آوردن مسافت آن تا اتوبان، یک خط عمود از محل قرارگیری گوشی بر اساس تصویر پایین ترسیم میکنیم. این عمل سبب ساز ساخت‌و‌ساز دو مثلث قائم‌الزاویه می گردد. ولی برای حل این موضوع ما تنها به آن مثلث قائم‌الزاویه‌ای نیاز داریم که دکل اولیه در یکی‌از رئوس آن جای دارد.

مسافت یک گوشی از دو دکل

اکنون با به کار گیری از زاویه
23.
3
∘
23.3
∘

و نسبت‌های مثلثاتی اساس قادر خواهیم بود جواب‌ها را بیابیم:

cos
⁡
23.
3
∘
=
x
5050
cos23.3
∘
=
5050
x

⇒
x
=
5050
cos
⁡
23.
3
∘
≈
4638.15

f
t
⇒x=5050cos23.3
∘
≈4638.15 ft

sin
⁡
23.
3
∘
=
y
5050
sin23.3
∘
=
5050
y

⇒
y
=
5050
sin
⁡
23.
3
∘
≈
1997.5

f
t
⇒y=5050sin23.3
∘
≈1997.5 ft

به این ترتیب تلفن نسبتاً در مسافت
4638

f
t
4638 ft
شرق و
1998

f
t
1998 ft
شمال او‌لین دکل و در مسافت
1998

f
t
1998 ft
از اتوبان جای‌دارد.

تمرین
طبق تصویر تحت زاویه‌های
C
1
C
1

و
C
2
C
2

به ترتیب موازی با کدام آیتم‌اند؟

مثلث آبی با اضلاع و زاویه‌های معین

70.
5
∘
70.5
∘

و
12
0
∘
120
∘

70.
5
∘
70.5
∘

و
109.
5
∘
109.5
∘

109.
5
∘
109.5
∘

و
70.
5
∘
70.5
∘

12
0
∘
120
∘

و
70.
5
∘
70.5
∘

جواب تشریحی
مورد دوم درست میباشد. زاویه
C
1
C
1

به صورت ذیل احتساب می شود:

a
sin
⁡
A
=
c
sin
⁡
C
1
sinA
a

=
sinC
1

c

⇒
26
sin
⁡
3
3
∘
=
45
sin
⁡
C
1
⇒
sin33
∘

26

=
sinC
1

45

⇒
C
1
=
s
i
n
−
1
0.94
=
70.
5
∘
⇒C
1

=sin
−1
0.94=70.5
∘

برای یافت کردن
C
2
C
2

بایستی توجه کنیم به اینکه مثلث سمت راست یک مثلث معادل‌الاضلاع میباشد (دو ضلع موازی دارااست). پس دو زاویه متناظر با این دو ضلع نیز موازی میباشند. بنابراین
C
2
C
2

از نادر کردن
C
1
C
1

از
18
0
∘
180
∘

به دست میاید:

C
2
=
18
0
∘
−
C
1
=
18
0
∘
−
70.
5
∘
=
109.
5
∘
C
2

=180
∘
−C
1

=180
∘
−70.5
∘
=109.5
∘

فرض نمائید قایقی طبق صورت تحت از بندر بیرون گردیده و
10
10
مایل جنبش می‌نماید. آن‌گاه
20
20
رتبه می چرخد و
8
8
مایل دیگر را طی می‌نماید. مسافت قایق از بندر چقدر میباشد؟

فواصل یک قایق

17.7

m
l
17.7 ml

27.7

m
l
27.7 ml

1.7

m
l
1.7 ml

7.7

m
l
7.7 ml

جواب تشریحی
مورد اولیه صراحت دارد. طبق شکل پرسش، این قایق
20
20
مرتبه چرخیده میباشد. بدین ترتیب یک زاویه گشوده (منفرجه) در مثلث غیرقائم‌الزاویه داریم که زاویه کامل کننده آن یعنی
160
160
سکو خواهد بود. با داشتن این زاویه قادر خواهیم بود از ضابطه کسینوس‌ها برای جستن ضلع مجهول مثلث یعنی به عبارتی مسافت قایق تا بندر استعمال کنیم:

x
2
=
8
2
+
1
0
2
−
2
(
8
)
(
10
)
cos
⁡
16
0
∘
x
2
=8
2
+10
2
−2(8)(10)cos160
∘

⇒
x
2
=
314.35
⇒x
2
=314.35

⇒
x
=
314.35
≈
17.7

m
l
⇒x=
314.35

≈17.7 ml